2 januari 2021

Moment of inertia of Traagheidsmoment. (meer)

Polly Translate
Voiced by Amazon Polly

Ok, ff over het traagheidsmoment dus.
Ik moet uitgebreid info hebben erover voor me PWS…

Ik wil het traagheidsmoment berekenen van een schijf….nu is dat volgens deze site:
http://www.theorphys.science.ru.nl/people/fasolino/sub_java/cylinder/inertia-nl.shtml
De integraal die onderaan staat,eigenlijk staat daar niets anders dan de integraal van m*r^2.

Maar op bijvoorbeeld deze site:
http://online.cctt.org/physicslab/content/PhyAPB/lessonnotes/angularmomentum/lessonangularmomentum.asp
Staat gewoon 0.5*m*r^2…..zonder integraal…..

Waar komt die 0.5 vandaan en waarom etc? kan mij een heldere uitleg gegeven worden met afleiding van de formules etc? alvast bedankt…
ik wil graag zoveel mogelijk hierover weten, diepgaand. maar ik vind maar geen duidelijke sites, ook niet in het engels.


Antw.: inderdaad valt er niet veel duidelijke info te vinden over jouw vraagstuk. Zoals ik uit jouw vraag kan begrijpen, zit jij met het probleem dat de ene formule voor een vlakke schijf is en de andere voor een cilinder. Hier komt die 0,5 vandaan. Natuurwetenschappen zou natuurwetenschappen niet zijn om toch een poging te wagen in het kader van traagheidsmomenten. (Lees meer……)






Hetgeen wat we goed kennen is het traagheidsmoment van een puntmassa t.o.v. een as: I = m d? met d de afstand van het punt tot de rotatie-as. Daar de schijf opgebouwd is uit een oneindig aantal puntmassa’s, is het traagheidsmoment van de schijf te vinden door de bijdrage van al deze puntmassa’s te sommeren (superpositiebeginsel). Onderstaande figuur toont de schijf met dikte t, straal R en M. De rotatie-as yy’ ligt in het vlak van de schijf en loopt tevens door het centrum. Een infinitesimaal volume-element is vergroot weergegeven.






Het traagheidsmoment van het infinitesimale volume-element is dm (r sinq)?, waarbij d = r sinq de afstand is tot de rotatie-as, en dm de massa van het infinitesimale volume. Om de bijdrage van alle infinitesimale volume-elementen op te tellen moeten we dus de bijdrage van het infinitisimale volume-element integreren tussen 0 en 2p, en tussen 0 en R. Herschrijven we nu nog de massa dm:





























dm = r dV (massa = massadichtheid . volume)
endV = t dS (volume = dikte . oppervlakte)
endS = (r dq) dr (oppervlakte = basis . hoogte)
 
dan is:dm = r t (r dq) dr
dus:dI = dm (r sinq)? = r t r dq dr (r sinq)?

Vandaar dat:



















Iyy’ = ?
?
2p

0 
?
?
R

0 
dI = ?
?
2p

0 
?
?
R

0 
(r sinq)? r t r dq dr

Uitwerken van deze integraal geeft:
































Iyy’ = r?
?
2p

0 
sin?q dq ?
?
R

0 
r? dq =r?
?
?
q


2
sin2q


4
?
?
?
2p


0 
 ?
?
?
r4


4
?
?
?
R


0
= r t pR4


4
= ? m R?     (want m = r t p R?)











Omdat een cilinder opgebouwd is uit zeer veel dunne schijfjes is voorgaand resultaat echter wel te gebruiken als startpunt voor het berekenen van hettraagheidsmoment van een cilinder.







Het traagheidsmoment van het (infinitesimale) dunne schijfje met dikte dz en massa dm, getoond in bovenstaande figuur, noteren we als dI. T.o.v. de y’-as is dit reeds gekend, nl. ? dm R?. Het traagheidsmoment t.o.v. de y-as is dan volgens de stelling van Steiner:


















dIy-as = dIy’-as + z? dm
 = ? dm R? + z? dm
 = ? (r p R? dz) R? + z? (r p R? dz)

Het totale traagheidsmoment wordt verkregen door de bijdrage van alle schijfjes in de cilinder op te tellen, d.i. we integreren bovenstaande uitdrukking over de lengte van de cilinder, d.i. van -L/2 tot L/2:















Iy-as = ?
?
L/2

-L/2
(?r p R4 + r p R? z?) dz
 = r p R4 L/4 + r p R? L?/12

Herschrijven in termen van de massa van de cilinder m = r p R? L geeft:








Iy-as = mR?/4 + mL?/12

 


Ik hoop dat je hiermee wat kunt.


Bron: K.U. Leuven