31 december 2020

Platonische lichamen berekenen

Polly Translate
Voiced by Amazon Polly

Hoe bereken je de inhoud van Platonische lichamen? Is hier ook een formule voor? En waar is die formule op gebaseerd?

Hopelijk weet iemand een antwoord.

Bedankt!



Antw.: De definitie luidt: Platonisch lichamen, ook wel regelmatig veelvlakken genoemd, zijn convexe veelvlakken met zijvlakken die bestaan uit een aantal regelmatige en congruente veelhoeken, zodat bij elk hoekpunt hetzelfde aantal zijvlakken samenkomen. Voor ons, als “leek”, klinkt dit nogal vaag, dus we gaan aan de slag met voorbeelden en tekeningen. (Lees meer….)

In normaal nederlands omschrijven we een platonisch lichaam oftewel een regelmatig veelvlak als een driedimensionaal object dat is opgebouwd uit gelijke regelmatige veelhoeken van dezelfde grootte en een ruimte geheel omsluit. Bovendien kunnen we eisen dat de hoeken tussen de vlakken gelijk zijn.


Laten we het aantal zijden van elk gelijkzijdig vlak z noemen en het aantal vlakken v, dan kunnen we zeggen dat het aantal ribben r gelijk is aan z?v/2 (want elke ribbe wordt gedeeld door de twee aangrenzende vlakken).


Een ander kenmerk van een regelmatig veelvlak is het aantal vlakken dat in een hoek samenkomt. Bij een kubus is dat bijvoorbeeld 3, maar 4 of 5 is ook mogelijk (meer niet). Laten we dit aantal h noemen, dan is het aantal hoekpunten p gelijk aan z?v/h.


Er kunnen dan ook maar 5 platonische lichamen zijn.zoals te zien in onderstaande tabel.
















tetra?derhexa?derocta?derdodeca?der

icosa?der


 




















































Griekse benamingNederlandse benamingzijdenvlakken/hoekvlakkenribbenhoeken
tetrahedrontetra?der33464
hexahedronhexa?der of kubus436128
octahedronocta?der348126
dodecahedrondodeca?der53123020
icosahedronicosa?der35203012


Zoals eerder al werd geschreven, wordt een platonisch lichaam volledig bepaald door het soort van regelmatige veelhoek aan de zijkanten en het aantal van die veelhoeken dat in een hoekpunt bij elkaar komt. Bovendien moeten de hoeken die in 1 hoek samenkomen samen minder zijn dan 360?. Dit kunnen 3 driehoeken (3×60?=180?), 4 driehoeken (240?) of 5 driehoeken (300?) zijn, maar niet meer. Evenzo kunnen het 3 vierkanten (3×90?=270?), 3 vijfhoeken (3×108?=324?), maar niet 4 vierkanten (4×90?=360?) of 3 zeshoeken (3×120?=360?).


Voor de Tetra?der geldt:





































aantal zijvlakken4
aantal hoekpunten4
aantal ribben6
in elk hoekpunt
komen samen:
3 gelijkzijdige
driehoeken
hoekgrootte tussen
2 zijvlakken
70?31’42”
oppervlaktesqrt(3)*z2
volumez3*sqrt(2)/12
straal omgeschreven bolz*sqrt(6)/12
straal ingeschreven bolz*sqrt(6)/12
aantal symmetrievlakken6
aantal symmetrieassen7


Voor de Hexa?der geldt:





































aantal zijvlakken6
aantal hoekpunten8
aantal ribben12
in elk hoekpunt
komen samen:
3 vierkanten
hoekgrootte tussen
2 zijvlakken
90?
oppervlakte6*z2
volumez3
straal omgeschreven bolz*sqrt(3)/2
straal ingeschreven bolz/2
aantal symmetrievlakken9
aantal symmetrieassen13


Voor de Octa?der geldt:





































aantal zijvlakken8
aantal hoekpunten6
aantal ribben12
in elk hoekpunt
komen samen:
4 gelijkzijdige
driehoeken
hoekgrootte tussen
2 zijvlakken
109?28’12”
oppervlakte2*sqrt(3)*z2
volumez3*sqrt(2)/3
straal omgeschreven bolz*sqrt(2)/2
straal ingeschreven bolz*sqrt(6)/6
aantal symmetrievlakken9
aantal symmetrieassen13


Voor de Dodeca?der geldt:





































aantal zijvlakken12
aantal hoekpunten20
aantal ribben30
in elk hoekpunt
komen samen:
3 regelmatige
vijfhoeken
hoekgrootte tussen
2 zijvlakken
116?33’54”
oppervlakte3*z2*sqrt(25+10*sqrt(5))
volumez3*(15+7*sqrt(5))/4
straal omgeschreven bolz*sqrt(3)*(1+sqrt(5))/4
straal ingeschreven bolz*sqrt((50+22*sqrt(5))/5)/4
aantal symmetrievlakken15
aantal symmetrieassen31


En voor de Icosa?der geldt:


 





































aantal zijvlakken20
aantal hoekpunten12
aantal ribben30
in elk hoekpunt
komen samen:
5 gelijkzijdige
driehoeken
hoekgrootte tussen
2 zijvlakken
138?11’30”
oppervlakte5*z2*sqrt(3)
volume5*z3*(3+sqrt(5))/12
straal omgeschreven bolz*sqrt(10+2*sqrt(5))/4
straal ingeschreven bolz*sqrt(3)*(3+sqrt(5))/12
aantal symmetrievlakken15
aantal symmetrieassen31


Bronnen en links:


http://studwww.ugent.be/


http://binky.thinkquest.nl/~kl005/dopo/wiskunde/PLATONISCH.html


http://nl.wikipedia.org/wiki/Hoofdpagina


http://www.potatodie.nl/veelzijdig.htm


http://www.wisfaq.nl/showrecord3.asp?id=21420