Platonische lichamen berekenen

Hoe bereken je de inhoud van Platonische lichamen? Is hier ook een formule voor? En waar is die formule op gebaseerd?

Hopelijk weet iemand een antwoord.

Bedankt!

Antw.: De definitie luidt: Platonisch lichamen, ook wel regelmatig veelvlakken genoemd, zijn convexe veelvlakken met zijvlakken die bestaan uit een aantal regelmatige en congruente veelhoeken, zodat bij elk hoekpunt hetzelfde aantal zijvlakken samenkomen. Voor ons, als “leek”, klinkt dit nogal vaag, dus we gaan aan de slag met voorbeelden en tekeningen. (Lees meer….)

In normaal nederlands omschrijven we een platonisch lichaam oftewel een regelmatig veelvlak als een driedimensionaal object dat is opgebouwd uit gelijke regelmatige veelhoeken van dezelfde grootte en een ruimte geheel omsluit. Bovendien kunnen we eisen dat de hoeken tussen de vlakken gelijk zijn.

Laten we het aantal zijden van elk gelijkzijdig vlak z noemen en het aantal vlakken v, dan kunnen we zeggen dat het aantal ribben r gelijk is aan z?v/2 (want elke ribbe wordt gedeeld door de twee aangrenzende vlakken).

Een ander kenmerk van een regelmatig veelvlak is het aantal vlakken dat in een hoek samenkomt. Bij een kubus is dat bijvoorbeeld 3, maar 4 of 5 is ook mogelijk (meer niet). Laten we dit aantal h noemen, dan is het aantal hoekpunten p gelijk aan z?v/h.

Er kunnen dan ook maar 5 platonische lichamen zijn.zoals te zien in onderstaande tabel.


tetra?der	hexa?der	octa?der	dodeca?der	icosa?der

Griekse benaming	Nederlandse benaming	zijden	vlakken/hoek	vlakken	ribben	hoeken
tetrahedron	tetra?der	3	3	4	6	4
hexahedron	hexa?der of kubus	4	3	6	12	8
octahedron	octa?der	3	4	8	12	6
dodecahedron	dodeca?der	5	3	12	30	20
icosahedron	icosa?der	3	5	20	30	12

Zoals eerder al werd geschreven, wordt een platonisch lichaam volledig bepaald door het soort van regelmatige veelhoek aan de zijkanten en het aantal van die veelhoeken dat in een hoekpunt bij elkaar komt. Bovendien moeten de hoeken die in 1 hoek samenkomen samen minder zijn dan 360?. Dit kunnen 3 driehoeken (3×60?=180?), 4 driehoeken (240?) of 5 driehoeken (300?) zijn, maar niet meer. Evenzo kunnen het 3 vierkanten (3×90?=270?), 3 vijfhoeken (3×108?=324?), maar niet 4 vierkanten (4×90?=360?) of 3 zeshoeken (3×120?=360?).

Voor de Tetra?der geldt:

aantal zijvlakken	4
aantal hoekpunten	4
aantal ribben	6
in elk hoekpunt komen samen:	3 gelijkzijdige driehoeken
hoekgrootte tussen 2 zijvlakken	70?31’42”
oppervlakte	sqrt(3)*z²
volume	z³*sqrt(2)/12
straal omgeschreven bol	z*sqrt(6)/12
straal ingeschreven bol	z*sqrt(6)/12
aantal symmetrievlakken	6
aantal symmetrieassen	7

Voor de Hexa?der geldt:

aantal zijvlakken	6
aantal hoekpunten	8
aantal ribben	12
in elk hoekpunt komen samen:	3 vierkanten
hoekgrootte tussen 2 zijvlakken	90?
oppervlakte	6*z²
volume	z³
straal omgeschreven bol	z*sqrt(3)/2
straal ingeschreven bol	z/2
aantal symmetrievlakken	9
aantal symmetrieassen	13

Voor de Octa?der geldt:

aantal zijvlakken	8
aantal hoekpunten	6
aantal ribben	12
in elk hoekpunt komen samen:	4 gelijkzijdige driehoeken
hoekgrootte tussen 2 zijvlakken	109?28’12”
oppervlakte	2sqrt(3)z²
volume	z³*sqrt(2)/3
straal omgeschreven bol	z*sqrt(2)/2
straal ingeschreven bol	z*sqrt(6)/6
aantal symmetrievlakken	9
aantal symmetrieassen	13

Voor de Dodeca?der geldt:

aantal zijvlakken	12
aantal hoekpunten	20
aantal ribben	30
in elk hoekpunt komen samen:	3 regelmatige vijfhoeken
hoekgrootte tussen 2 zijvlakken	116?33’54”
oppervlakte	3z²sqrt(25+10*sqrt(5))
volume	z³(15+7sqrt(5))/4
straal omgeschreven bol	zsqrt(3)(1+sqrt(5))/4
straal ingeschreven bol	zsqrt((50+22sqrt(5))/5)/4
aantal symmetrievlakken	15
aantal symmetrieassen	31

En voor de Icosa?der geldt:

aantal zijvlakken	20
aantal hoekpunten	12
aantal ribben	30
in elk hoekpunt komen samen:	5 gelijkzijdige driehoeken
hoekgrootte tussen 2 zijvlakken	138?11’30”
oppervlakte	5z²sqrt(3)
volume	5z³(3+sqrt(5))/12
straal omgeschreven bol	zsqrt(10+2sqrt(5))/4
straal ingeschreven bol	zsqrt(3)(3+sqrt(5))/12
aantal symmetrievlakken	15
aantal symmetrieassen	31